已知a>1/2,求证:函数f(x)=ax+1/x+2在区间(-2,+∞)上为单调递增

这是初中题目吧， 一楼用导数方法超范围了。

设 (-2,+∞) 区间上的任意 -2 < x1 < x2

f(x) = [a(x+2) + 1 -2a]/(x+2)
= a + (1 -2a)/(x+2)

f(x2) - f(x1) =
[a + (1 -2a)/(x2 + 2) ] - [a + (1 - 2a)/(x1 + 2)]
= (1 - 2a)[1/(x2 + 2) - 1/(x1 + 2)
= (1 - 2a)(x1 - x2)/[(x2 + 2)(x1 + 2)]

x2 > x1 > -2，所以
x2 +2 > 0
x1 + 2 > 0
x1 - x2 < 0

a > 1/2
1 - 2a < 0

因此
f(x2) - f(x1) > 0
f(x2) > f(x1)

因此 f(x) 在区间(-2,+∞)上为单调递增

f(x)=(ax+1)/(x+2),x>-2
f(x)'=[a(x+2)-(ax+1)]/(x+2)^2
=(ax+2a-ax-1)/(x+2)^2
=(2a-1)/(x+2)^2
x>-2,
->
(x+2)^2>0
a>1/2
2a-1>0
所以
f(x)'>0
所以
函数f(x)=ax+1/x+2在区间(-2,+∞)上为单调递增

f(x)=a+(1-2a)/(x+2)
因为1-2a<0，1/(x+2)在(-2,+∞)上为单调递减，所以f(x)在区间(-2,+∞)上为单调递增